From the book "THE MATHEMATICS THAT EVERY SECONDARY SCHOOL MATH TEACHER NEEDS TO KNOW" by Alan Sultan & Alice. 

Chapter 13. Data Analysis and Probability.

    Materi ini merupakan salah satu cabang matematika yang menarik untuk diajarkan sebagaimana penerapannya banyak ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya, perusahaan asuransi jiwa Misalnya, perusahaan asuransi jiwa memutuskan tarif mereka berdasarkan persentase orang yang mereka yakini akan meninggal pada tahun mendatang, selain itu dengan cara yang sama, perusahaan asuransi mobil memutuskan tarifnya pada persentase pelanggannya yang mereka perkirakan akan mengalami kecelakaan. Bagaimana mereka bisa mengetahui berapa persen pelanggan mereka yang akan mengalami kecelakaan? Jawabannya adalah mereka tidak bisa. Tapi yang bisa mereka lakukan hanyalah memperkirakan apa yang seharusnya terjadi pada persentase pengemudi yang pernah mengalami kecelakaan di masa lalu. Pada perusahaan asuransi yang saya temukan, sebagian besarnya ditemukan terdapat keteraturan tertentu dalam persentase pelanggan mereka yang terlibat dalam kecelakaan dari tahun ke tahun. Hal ini didasarkan pada data bertahun-tahun dari jutaan pengemudi. Dengan demikian, data mereka berasal dari populasi yang sangat besar. Terkadang persentasenya bervariasi. Misalnya, ketika undang-undang sabuk pengaman diterapkan, persentase kematian akibat kecelakaan mobil menurun, dan hal itu, pada gilirannya, memengaruhi analisis mereka.

    Studi tentang probabilitas adalah studi tentang kemungkinan terjadinya peristiwa dan inilah mengapa probabilitas sering kali didefinisikan sebagai studi tentang peluang. Ketika kami mengatakan kemungkinan hujan adalah 45% saat ini, kami mengatakan bahwa, di masa lalu, ketika kondisinya sama dengan sekarang, hujan menghasilkan sekitar 45% dari keseluruhan waktu. Tentu saja, hal ini tidak menjamin apa pun mengenai apa yang akan terjadi saat ini, namun hal ini memberi kita data yang dapat digunakan untuk mengambil keputusan. Misalnya, haruskah kita membawa payung hari ini? Bagi sebagian orang, peluang turun hujan sebesar 45% tidak cukup untuk membawa payung. Bagi yang lain, itu cukup jadi dasar seseorang membawa payung.

1. Ide Dasar Peluang

Maxine suka bermain lotere. Dia mengklaim dia memiliki peluang lebih besar untuk menang jika dia terus bertaruh lima nomor lotre yang sama setiap saat. Tapi Molly mengatakan bahwa lebih baik jika Anda memilih secara acak lima angka untuk jangka waktu yang sama. Sophie mengatakan tidak masalah bagaimana Anda memilih nomor Anda. Siapa yang benar? Mengapa?

2. Berbagai Pendekatan dari Peluang

    Setiap orang pernah mendengar pernyataan seperti, 

“Jika kita melempar sebuah koin secara adil, peluang munculnya ‘gambar’ adalah 1/2.” 

    Apa artinya ini? Apakah ini berarti kita dapat yakin jika kita melempar sebuah koin sebanyak sepuluh kali bahwa 50% dari gambar akan muncul? Jawabannya adalah, “Tentu saja tidak.” Setiap anak tahu bahwa ketika kita melempar koin, segala sesuatu dapat muncul dan dalam urutan apa pun. Misalnya, jika kita melempar koin sebanyak 5 kali, kemungkinan besar kita akan mendapatkan 5 gambar berturut-turut. Atau, kita mungkin mendapatkan gambar-angka-gambar-angka-gambar. Mengatakan bahwa peluang munculnya gambar adalah 1/2 berarti, jika kita melempar koin berkali-kali dan mengukur rasio munculnya gambar dengan jumlah total pelemparan, kita akan mendapatkan memperkirakan rasio itu mendekati 1/2. Jadi, jika kita melempar koin, katakanlah, satu juta kali, kita perkirakan akan ada sekitar 500 ribu lemparan yang akan memunculkan gambar. Akankah hal ini benar-benar terjadi? Bukankah mungkin kita bisa mendapatkan jutaan kali flips yang semuanya memunculkan gambar? Tidak mungkin, tapi mungkin! Namun ketika banyak sekali orang yang melempar koin jutaan kali, dan kita menjumlahkan jumlah pelemparan dan jumlah gambar yang muncul, kita mengatakan bahwa kita yakin gambar akan muncul sekitar 50% dari keseluruhan waktu. Jadi bagaimana kita memeriksa pernyataan ini? Apakah kita hanya melempar koin setiap hari dan memeriksa pernyataan kita seperti itu? Bisa saja, tapi meskipun kami menemukan rasio head to flips kami adalah 1/2, tidak ada jaminan bahwa, ketika orang lain melakukan hal yang sama, hasilnya akan sama, atau ketika kami menggabungkan semua hasil kami maka kami akan melakukannya. mendekati 50%. Jadi, sebagai jawaban atas pertanyaan kita, “Bagaimana kita memeriksa pernyataan ini?” jawabannya adalah, kami tidak melakukannya.

    Ketika kita mengatakan bahwa probabilitas munculnya gambar adalah 1/2, kita menggunakan model yang mengungkapkan keyakinan kita bahwa banyak pelemparan akan menghasilkan rasio gambar terhadap jumlah total pelemparan kira-kira 1/2. Model ini dikenal sebagai pendekatan frekuensi. Sekarang, perhatikan bahwa tidak semua model bagus. Namun model ini telah ada selama beberapa ratus tahun, dan didasarkan pada apa yang telah kami amati di masa lalu, dan apa yang kami yakini akan selalu terjadi dalam jumlah besar. Apa yang berbeda dari model ini adalah kita tidak pernah bisa benar-benar memeriksa keyakinan kita, meskipun dalam satu juta kali lemparan, rasio gambar dan lemparan mungkin mendekati 1/2, meskipun kecil kemungkinannya, pada saat kita mencapai satu miliar lemparan, segalanya mungkin berubah. Hal ini tidak seperti hukum Hooke (lihat Bab 9) untuk pegas, dimana kita dapat menguji pegas demi pegas dan melihat bahwa hukum Hooke benar. 

    Probabilitas adalah jenis model yang berbeda. Secara umum, jika kita ingin menentukan peluang terjadinya suatu peristiwa selama suatu percobaan dengan menggunakan pendekatan frekuensi, kita melakukan percobaan tersebut berkali-kali. Setiap kali kita melakukan percobaan, kita telah melakukan apa yang disebut percobaan. Setiap kali peristiwa yang kita minati terjadi, kita mengatakan bahwa kita sukses. Jika n adalah jumlah percobaan yang dilakukan dan S adalah jumlah keberhasilan, probabilitas, p, dari kejadian tersebut didefinisikan sebagai berikut.

    Dengan menggunakan pendekatan frekuensi, untuk mencari peluang suatu kejadian kita perlu mengambil limit sebagai, n→∞. Jelasnya, kita tidak dapat melakukan uji coba dalam jumlah besar, jadi orang yang praktis harus mampu memperkirakan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Hal ini dilakukan dengan melakukan percobaan dalam jumlah yang tetap, namun berkali-kali, menghitung rasio keberhasilan terhadap jumlah total percobaan, dan menggunakan rasio tersebut sebagai perkiraan probabilitas sebenarnya terjadinya peristiwa tersebut. Rasio ini disebut probabilitas eksperimental atau probabilitas empiris suatu peristiwa. Orang tersebut kemudian menggunakan nomor ini dalam perhitungannya. Ternyata, ada banyak situasi di mana penggunaan probabilitas eksperimental adalah satu-satunya cara untuk menghitung probabilitas. Misalnya, perusahaan asuransi selalu menggunakan probabilitas eksperimental untuk menentukan harga polis asuransi jiwa mereka. Jika mereka ingin menentukan kemungkinan bahwa, katakanlah seorang pria berusia 40 tahun yang merokok dan minum alkohol akan meninggal karena serangan jantung pada usia 60 tahun, mereka menggunakan data yang dikumpulkan dari catatan ekstensif orang-orang yang meninggal pada usia 60 tahun dan jatuh. termasuk dalam kategori ini, untuk menentukan harga polis asuransi jiwa bagi pria berusia 40 tahun yang merokok dan minum serta meminta untuk diasuransikan. Selain itu, hanya probabilitas eksperimental yang dapat digunakan untuk mencari probabilitas suatu benda tidak beraturan mendarat pada posisi tertentu. Sebagai kasus sederhana, misalkan seseorang mempunyai sebuah cangkir dan karena alasan tertentu ingin mengetahui kemungkinan cangkir tersebut akan mendarat miring ketika dilempar dan dibiarkan jatuh. Dia dapat melemparkan cangkirnya ke atas dan membiarkannya jatuh, katakanlah 1000 kali. Jika 914 kali cangkir itu mendarat miring, orang tersebut akan mengatakan bahwa kemungkinan terjadinya hal ini kira-kira 914/1000. 

    Dari sudut pandang instruksional, meminta siswa menghitung probabilitas eksperimen memberi mereka gambaran mengenai masalah dan firasat mengenai hasil yang masuk akal untuk probabilitas teoritis. Misalnya, seorang guru mungkin meminta siswanya untuk melempar sepasang dadu sebanyak 50 kali dan menghitung berapa kali jumlah sisi dadu tersebut menjadi 7 sebelum menghitung probabilitas teoritis kejadian ini. Jika nanti mereka menghitung probabilitas teoretisnya, mereka dapat menentukan apakah hasil yang mereka peroleh masuk akal atau tidak.

    Salah satu masalah dengan probabilitas eksperimen adalah, jika orang yang berbeda melakukan eksperimen tersebut sebanyak 1000 kali, hasilnya dapat sangat bervariasi. Jadi, masing-masing memiliki probabilitasnya sendiri untuk digunakan dalam perhitungan. Sebaliknya, probabilitas teoretis yang akan segera dibahas adalah angka yang tetap dan tidak bervariasi dari orang ke orang.

    Sekarang, misalkan kita mempunyai papan panah, yang sebagiannya berwarna kuning dan sisanya berwarna biru, dan kita bertanya, “Berapa peluang anak panah yang dilempar secara acak dan mengenai papan itu, mendarat di warna kuning?” Bisa dibilang kemungkinannya 1/2, alasannya hanya ada dua kemungkinan, salah satunya adalah mendarat di warna kuning. Hal ini mungkin tampak masuk akal. Tapi misalkan kita mempunyai papan panah seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut.

    Sekarang apakah anda dapat mengatakan bahwa peluang atau peluang anak panah mengenai daerah kuning adalah 1/2? Lihatlah seberapa besar area kuning dibandingkan area biru. Hal ini mengarah pada gagasan tentang kemungkinan. Mendarat dengan warna kuning di papan dart tampaknya lebih mungkin terjadi daripada mendarat di warna biru, asalkan anak panah tersebut mengenai papan dart. Jadi, hanya karena kita mempunyai dua hasil tidak berarti probabilitas masing-masing hasil adalah 1/2.

    Contoh lain, misalkan seseorang melempar sepasang dadu. Jumlah angka yang muncul pada saat jatuhnya dadu bisa berupa angka berapa saja dari 2 sampai 12 dengan total 11 kemungkinan. Jika seseorang ditanya, “Berapa peluang munculnya angka 7 pada sebuah dadu?”, dia mungkin menjawab “1/11, sama dengan peluang munculnya angka 2”. Namun peluang terambilnya angka 2 tidak sama dengan peluang terambilnya angka 7, karena hanya ada satu cara untuk mendapat angka 2, yaitu setiap dadu jatuh dengan 1 titik ke atas yang kita nyatakan dengan pasangan terurut (1,1), dan ada beberapa cara untuk mendapatkan jumlah 7 (misalnya (1,6), (2,5), (3,4), (6,1), dan seterusnya). Jadi, kejadiannya mendapatkan jumlah 7 lebih besar kemungkinannya terjadi dibandingkan kejadian mendapat 2.

    Hal ini membawa kita pada apa yang disebut pendekatan klasik atau teoretis terhadap probabilitas dan pada definisi probabilitas yang banyak ditemukan di sebagian besar buku sekolah menengah yang dikenal sebagai definisi probabilitas klasik atau teoretis: Misalkan suatu eksperimen dapat menghasilkan n kemungkinan hasil yang sama, dan kita tertarik pada probabilitas kejadian, E, terjadi. Jika E terjadi tepat dalam m dari n hasil (yaitu, kita memperoleh “kesuksesan” sebanyak m dari n kali), maka peluang terjadinya peristiwa tersebut adalah m/n. Berikut beberapa contohnya.

    Tidak ada alasan mengapa satu hal harus terjadi di atas yang lain, jadi semua kemungkinan memiliki kemungkinan yang sama. Oleh karena itu, probabilitasnya adalah 1/6 bahwa x ≤ y ≤ z.

    Masih ada aliran pemikiran ketiga mengenai probabilitas yang dikenal sebagai pendekatan subyektif terhadap probabilitas. Di sana, probabilitas suatu peristiwa adalah ukuran seberapa besar kemungkinan kita merasakan hasilnya, yang tentu saja bersifat subjektif. Tentu saja hal ini bisa berbeda-beda pada setiap orang. Seringkali dalam bisnis, para eksekutif membuat keputusan berdasarkan pertimbangan mereka mengenai kemungkinan subjektif bahwa suatu peristiwa akan terjadi.

2.1. Masalah Dengan Pendekatan Probabilitas

    Ada masalah dengan semua pendekatan probabilitas sebelumnya. Misalnya dengan pendekatan frekuensi, misalkan kita ingin menentukan probabilitas terjadinya suatu peristiwa. Berapa kali kita harus melakukan percobaan sebelum kita yakin bahwa rasio keberhasilan terhadap jumlah percobaan memberikan kita angka yang mendekati probabilitas “nyata” terjadinya peristiwa tersebut? Pernahkah kita yakin bahwa kita sudah dekat? Tahukah kita bahwa ada batasan dalam definisi probabilitas menurut definisi frekuensi, persamaan (13.1)? Bagaimana jika kita melakukan percobaan tersebut jutaan kali dan kemudian mengulanginya jutaan kali lagi? Apakah rasio jumlah hasil yang berhasil terhadap semua hasil akan sama atau bahkan mendekati satu sama lain dalam satu juta percobaan? Jika tidak, bagaimana kita bisa yakin bahwa definisi kita mempunyai arti? Misalkan tidak mungkin melakukan percobaan berkali-kali (misalnya menjatuhkan bom atom di suatu negara), bagaimana kita menentukan probabilitas suatu kejadian yang berkaitan dengan percobaan tersebut?

    Definisi klasik juga mempunyai permasalahan. Pertama, ini hanya dapat diterapkan pada situasi dengan jumlah hasil yang terbatas. Bagaimana jika terdapat banyak hasil yang tak terhingga seperti yang akan terjadi pada contoh selanjutnya? Selain itu, jika kita mengetahui probabilitas klasik suatu kejadian adalah 1/6, apakah pendekatan frekuensi pada eksperimen tersebut juga akan menghasilkan 1/6 yang sama? Yaitu, apakah pendekatan-pendekatan tersebut kompatibel? Saat kami menggunakan pendekatan klasik, kami berasumsi bahwa kemungkinan hasilnya sama. Mungkin hal ini tidak terjadi dan kita sedang membangun landasan yang salah. (Memang ada contoh nyata dalam fisika atom di mana segala sesuatu menunjukkan kemungkinan yang sama, namun sesuatu di alam membuat kemungkinannya tidak sama. (Lihat Feller, 1968, hlm. 40–41.)

    Tentu saja, pendekatan subjektif terhadap probabilitas mempunyai lebih banyak masalah. Bisakah kita menyimpulkan sesuatu tentang probabilitas dengan menggunakan pendekatan subjektif? Jika bersifat subjektif, apa arti probabilitas 50% dalam praktiknya? Hal ini menunjukkan apa yang bisa kita harapkan? Jika seseorang menilai probabilitas suatu kejadian adalah 0,50 dan orang lain 0,90, apakah salah satu dari mereka benar, dan bukankah kesimpulan yang diambil oleh masing-masing orang mungkin berbeda?

    Mengingat kesulitan yang dihadapi masing-masing dari ketiga pendekatan terhadap probabilitas, para ahli matematika yang mengutamakan presisi, mencoba mengembangkan cara untuk meletakkan probabilitas pada landasan matematika yang kokoh, yang akan kita bahas di bagian selanjutnya.

Dalam kejahatan di sebuah Universitas di bagian utara New York, ditentukan bahwa pelakunya adalah seorang mahasiswa yang mengenakan celana olahraga Cornell dan kaus New York. Seorang siswa ditangkap karena mengenakan kedua pakaian ini pada malam terjadinya kejahatan. Pembelaan memberikan bukti yang menunjukkan kemungkinan bahwa seorang siswa yang dipilih secara acak di bagian utara New York akan mengenakan celana olahraga Cornell adalah 1/10, dan kemungkinan bahwa seorang siswa yang dipilih secara acak di Cornell akan mengenakan kaus New York adalah 1/5. Jaksa menyimpulkan bahwa peluang seorang siswa mengenakan celana olahraga Cornell dan kaus New York adalah (1/10)(1/5) = 1/50 = 2%, yang cukup besar untuk menimbulkan keraguan yang masuk akal bagi juri. Masalah: Menurut Anda, apakah tuntutan jaksa mengenai kemungkinan tersebut benar atau salah? Dalam tiga kalimat atau kurang, jelaskan kesimpulan Anda. Asumsikan 1/10 dan 1/5 adalah probabilitas yang akurat.

    Masalah-masalah yang bergantung pada analisis probabilistik, seperti yang ditunjukkan dalam pertanyaan peluncuran, secara mengejutkan merupakan bagian dari kehidupan kita sehari-hari. Seringkali, pernyataan probabilistik berasal dari data yang memiliki implikasi terhadap hal-hal seperti: peradilan pidana, keputusan yang kita buat tentang cara berpakaian setiap hari, keputusan yang diambil pembeli tentang jumlah dan jenis barang yang akan dibeli untuk dijual oleh perusahaan mereka, dan biaya. perusahaan asuransi mengenakan biaya tergantung pada kondisi tertentu. Untuk memperoleh pernyataan probabilistik dari data, digunakan pendekatan teori himpunan, yang dijelaskan di bagian ini.

    Untuk menempatkan probabilitas pada landasan matematika yang kuat, ahli matematika Kolmogorov menyarankan pendekatan teori himpunan berikut, yang telah mendapat banyak dukungan di kalangan ahli matematika dan terlihat dalam kursus sekolah menengah. Para ahli matematika di seluruh dunia merasa bahwa setiap pendekatan yang layak terhadap probabilitas harus memenuhi aksioma yang disajikan di bagian ini.

    Pertama, kita memerlukan latar belakang. Saat kita melakukan suatu eksperimen, himpunan semua hasil disebut ruang sampel untuk eksperimen tersebut. Ruang sampel kita nyatakan dengan huruf S. Jadi, jika kita melempar sebuah dadu (“percobaan” kita) dan ingin mengetahui berapa banyak titik yang akan menghadap ke atas ketika dadu tersebut mendarat, ruang sampel kita, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jika kita melempar sepasang dadu (“percobaan” yang lain), misalnya dadu merah dan dadu biru, dan ingin mengetahui cara jatuhnya dadu, maka ruang sampelnya adalah S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . ., (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), . . ., (2, 6), . . ., (6, 1), (6, 2), (6, 3), . . (6, 6)} yang terdiri dari 36 pasang angka berurutan dimana angka pertama pada setiap pasangan berurutan adalah angka yang menghadap ke atas pada dadu merah dan angka kedua adalah angka yang menghadap ke atas pada dadu biru. Tentu saja, jika kita tidak tertarik pada apa yang muncul pada masing-masing dadu tetapi tertarik pada jumlah total titik yang muncul ketika dadu dilempar, maka ruang sampel kita adalah S = {2, 3, 4, . . . 11, 12} karena ini adalah satu-satunya jumlah yang mungkin didapat. Singkatnya, ruang sampel bergantung pada apa yang ingin kita catat saat kita melakukan eksperimen.

    Suatu kejadian, menurut pendekatan teoretis ini, didefinisikan sebagai himpunan bagian dari ruang sampel. Jadi, jika kita melempar sebuah dadu, dan kita tertarik pada kejadian E, yang memunculkan bilangan prima, maka E dapat dideskripsikan. dengan himpunan bagian E = {2, 3, 5} dari ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Peristiwa F yang memunculkan bilangan genap dapat dijelaskan dengan himpunan bagian F = {2, 4, 6} dari ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Setiap peristiwa terdiri dari peristiwa tunggal. Misalnya kejadian munculnya bilangan genap pada sebuah dadu, yaitu kejadian F = {2, 4, 6} yang terdiri dari tiga kejadian tunggal {2}, {4}, dan {6} . Jika salah satu kejadian tunggal ini terjadi, F telah terjadi. Artinya, jika muncul angka 2 pada suatu pelemparan, maka kejadian “munculnya angka genap” terjadi.

Bila dua kejadian A dan B tidak dapat terjadi secara bersamaan, maka kejadian-kejadian tersebut disebut saling lepas. Jadi, kejadian A, pelemparan sebuah dadu menghasilkan bilangan genap, dan kejadian B, pelemparan sebuah dadu menghasilkan bilangan ganjil, saling lepas, karena tidak akan diperoleh bilangan genap.

pelemparan bilangan genap dan bilangan ganjil sekaligus. Sebaliknya, jika kita mengambil sebuah kartu dari tumpukan kartu dan, jika kita misalkan C adalah kejadian kartu tersebut bergambar dan D adalah kejadian bahwa kartu tersebut berasal dari jenis wajik, maka C dan D adalah bukan saling eksklusif, karena menggambar setumpuk berlian berarti kita telah mencapai C dan D secara bersamaan.

Sangat mudah untuk mendeskripsikan kata “saling eksklusif” dalam bentuk himpunan. Kita telah mengamati dua paragraf yang lalu bahwa setiap kali singleton dalam rangkaian peristiwa A terjadi, maka peristiwa A telah terjadi.

Jadi, agar dua kejadian A dan B saling lepas, maka tidak boleh ada kejadian tunggal yang terjadi pada keduanya, atau keduanya akan terjadi. Artinya, A\B = f. Tentu saja, jika A \ B 6¼ ϕ, maka terdapat unsur persekutuan dan A dan B dapat terjadi secara bersamaan. Dengan demikian, keduanya tidak akan saling eksklusif. Singkatnya, dua kejadian, A dan B, saling lepas jika dan hanya jika A \ B = ϕ. Masih ada lagi. Karena setiap unsur persekutuan pada kedua himpunan A dan B berarti A dan B dapat terjadi secara bersamaan, maka himpunan unsur persekutuan pada A dan B adalah himpunan hasil yang mengakibatkan terjadinya kedua peristiwa tersebut. Dengan demikian, kejadian A dan B terjadi secara bersamaan dijelaskan oleh himpunan A \ B. Keuntungan dari pendekatan ini adalah kita sekarang dapat menggunakan hasil tentang himpunan, dan kita akan menunjukkan bahwa pernyataan probabilitas tertentu benar. Dengan cara yang sama, A [ B terdiri dari semua singleton yang ada di A atau B atau keduanya. Jika kita memilih singleton seperti itu di A [ B, maka A atau B atau keduanya telah terjadi.

Ringkasnya, kejadian yang terjadi baik A maupun B adalah himpunan A\B, dan kejadian terjadinya A atau B atau kedua-duanya adalah himpunan A[ B.

Kami sekarang menyajikan aksioma teoritis Kolmogorov untuk probabilitas. Anda akan melihat bahwa dia sengaja mengecualikan pemberian definisi probabilitas untuk menghindari masalah yang dibahas sebelumnya. Jadi, kita dapat menganggap probabilitas sebagai suatu istilah yang tidak terdefinisi dan kita mempunyai gagasan intuitif. Hal ini tidak berbeda dengan kesepakatan yang kita buat dalam geometri untuk membiarkan kata-kata tertentu seperti “titik” dan “garis” tidak terdefinisi dan bekerja dengan gagasan intuitif kita tentang kata-kata tersebut.