teorema
Misal R suatu ring, I ideal dari R.
R/I adalah himp semua koset kiri/kanan dari R oleh I. Misal di def operasi + dan x pada R/I. Sebab:
(I+a)+(I+b)=I+(a+b)
(I+a)(I+b)=I+(ab)

Bukti:
1. (R/I, +) Grup abelian.
 2. (R/I, x) semi grup.
  3.  Distributif x pada +

catatan: Setiap ideal adalah koset

- Jika R itu RK maka R/I juga RK
- Jika R itu punya elemen kesatuan maka R/I juga punya. Yaitu I+e
-Jika R itu DI, apa R/I itu DI? BELUM TENTU.
Bisa DI jika n nya bil. Prima
- Jika R itu field apa R/I itu field?Belum tentu. Tergantung invers di perkalian

Define
Misal R dan S masing-masing adalah ring. Teta: R->S suatu homomorfisma.
Ker teta adalah himp. Semua elemen di R (x €R) yg dipetakan ke elemen nol di S.
Ker teta:{x€R|teta(x)=0s}

teorema
1. Image teta subring dari S
2. Ker teta ideal dari R
3. Teta 1-1 jhj ker teta=0R
Bukti
1. Subring (subset, bukan himp kosong, tertutup operasi + dan x, punya elemen negatif)
2. Ideal(subring+Ideal)
3. Pemetaan

Define
Misalkan (R, +, x) dan (S, *, #) masing-masing ring.
Teta:R->S suatu pemetaan. Teta disebut homomrfisma ring jhj:
teta(a+b)=teta(a)*teta(b) dan
Teta(ab)=teta(a)#teta(b)

jenis homomorfisma
1. Momomorfisma: homomorfisma yg 1-1
2. Epimorfisma: homomorfisma yg onto
3. Isomorfisma: homomorfisma 1-1 & onto
4. Endomorfisma: homomorfisma ke dirinya sendiri
5. Automorfisma: homomorfisma yg lengkap(1-1, obto, dan ke dirinya sendiri)

def:
Misalkan R suatu ring, I subring R.
I ideal dari R jhj:
setiap r Є R, a Є I maka ar Є I dan ra Є I

ar (ideal kanan)
ra (ideal kiri)

jika komutatif dibacanya ideal saja. (ideal kanan=ideal kiri)

contoh:
a. (Z, +, x) ,(2Z, +, x)
    2Z subring Z, maka 2Z ideal dari Z.
    bukti:
    misal untuk setiap 2a Є 2Z dan bЄI maka 2ab=b2a <=> 2ab=2ab (ideal)

catataan:
Kalo K subset R, cek dulu subringnya.

Define
Misalkan R suatu ring, jika ada bil bulat positif terkecil n sds untuk setiap a Є R, na=0.
Maka n disebut karakteristik dari R.

jika tidak ada bil. bulat positif yg demikian, maka karakteristik R nya 0

contoh:
1. (Z, +, X), (Q, +, X), (R, +, X). Karakteristiknya adalah nol. (nol means elemen nol di ring)
2. (Z6, +6, X6) karakteristiknya 6.
untuk setiap a Є Z6 maka 6.a=nol

Jika ringnya memiliki elemen kesatuan e tidak nol, maka penentuan karakteristik ring tsb dapat ditent dg definisi:
ne=o 
sebab, setiap a ЄR. ae=ea=a shg n(ae)=(ne)a=0.a=0

Teorema
Jika D adalah suatu DI maka karakteristiknya nol atau bil.prima

bukti
untuk n=0 jelas.

andaikan n tidak nol,
karena D itu DI maka ada e Є DI
untuk n=1, 1.e=e.1 tidak nol ((artinya n>1)

andaikan n bukan bil.prima, n=r.s
0=n.e=rs.e=rese=0... re=0 dan se=0 ((kita tau D itu DI, jadi tidak memuat elemen pembagi nol. Maka tidak mungkin kalau n bukan bil prima))

Ini artinya r atau s merupakan karakteristik di DI namun hal ini kontradiksi padahal r dan s<n

def
Misal F suatu field, K subset F, K bukan himp. kosong.
K dikatakan SUBFIELD dari F jhj:
1. Tertutup thd + dan x
2. Elemen negatif
3. Elemen invers

coba lihat subring

IYAAA, jadi nambahin invers aja.

Ring pembangun: Ring yang sifat komutatif dikeluarkan

def
Misalkan F bukan himp. kosong, F disebut field shg F adalah RK, dgn elemen kesatuan e tidak nol dan setiap elemen tak nol memiliki invers thd operasi x.

dari tinjauan DI:
DI + elemen tak nolnya memiliki invers thd operasi x

F adalah field, jhj:  ada 11
I. (f, +) grup abelian {5}
II. (f-{0},x) grup abelian {5}
III. (f, +,x) memenuhi distributif x pada + {1}

Mengecek Field??
bisa pakai tabel cayley. nanti tinggal ditambahin
- elemen identitasnya apa
- elemen inversnya apa

Field < DI < RK < R

"tidak setiap DI itu field"

SIFAT
1. Setiap DI berhingga adalah field
2. Zn adalah field, jhj n adalah bil. prima (logikanya nih, field itu udah pasti DI. Dan di DI itu n nya harus bil. prima alias tidak memuat elemen pembagi nol)

Ini dia, sesuatu yang indah mulai hadir di teori ring.

sebelumnya, harus tau
Elemen pembagi nol
def:
Misalkan R suatu ring komutatif, a tdk sama dgn 0 Є R disebut elemen pembagi nol jika
ada b tidak 0 Є R sds ab=0

contoh:
1. (Z6, +6, X6) adalah RK
    3, 2, 4 adalah elemen pembagi nol
    if: 3.2=0
        3.4=0

2. (Z12, +12, X12) adalah RK
    2, 3, 4, 6, 8, 10 adalah elemen pembagi nol
   if cari sendiri yaaa

Zn memuat elemen pembagi nol jika n bukan bil. prima.
n bukan bil. prima artinya n=r.s
1<r.s<n shg n=r.s=0
r tidak nol & s tidak nol
berarti r dan s masing2 elemen pembagi nol

DAERAH INTEGRAL
def:
Misalkan R suatu ring komutatif, dg elemen kesatuan e bukan nol. R disebut DI jika R tidak memuat elemen pembagi nol. ((artinya, dia DI kalau n nya bil prima))

membuktikan DI ada 3:
- RK
- elemen kesatuan e bukan nol
- tidak memuat elemen pembagi nol

Teorema
jika R suatu DI dan a,b,c Є R dan a tidak nol
ab=ac maka b=c (kanselasi kiri)
ba=ca maka b=c (kanselasi kanan)

bukti:
a,b,c ЄR
a tidak nol
ab=ac
ab-ac=0 [ karena ada elemen (-ac) di R
a(b-c)=0 [a tidak nol] karena R di DI
b-c=0
b=c

define
Misalkan R suatu ring. 
- S subset R,
- S bukan himp. kosong, 
S dikatakan SUBRING jhj operasi biner yang sama dengan R merupakan suatu ring.

contoh:
(Z12, +12, X12) adlah ring.
Z12 subring Z?
pakai tabel cayley yaa!


Teorema (One steps test subring)
Misal R suatu ring
- S subset R
- S bukan himp. kosong.
S subring R. jhj
setiap a,b Є S, ada a-b Є S dan ab Є S

Teorema (two steps test subring)
Misal R suatu ring.
- S subset R
- S bukan himp. kosong.
S subring, jhj:
1. Ketertutupan operasi + dan x
2. Memiliki elemen negatif

jadi kalau ditanyakan apakah suatu subring maka ada 4 point langkahnya yang harus dibuktikan.

Tugas
1. Misalkan R suatu ring. 
    c(R)= {x Є R| ax=xa, setiap a Є R}
  buktikan bahwa c(R) subring R!

Catatan tambahan!
- Suatu ring R disebut ring dengan elemen kesatuan jika ada e Є R sd shg setiap a Є R, ae=ea=a
- Suatu ring R disebut ring komutatif jika setiap a,b ЄR, ab=ba

contoh
- (2Z, +, x) ring komutatif tanpa elemen kesatuan
- (Z, +, x) ring komutatif dengan elemen kesatuan
- (M(2,z), +, x) tidak ring komutatif dengan elemen kesatuan yaitu matriks identitas.

•  elemen identitas di +  yaitu elemen nol
• elemen identitas di x yaitu elemen kesatuan
• elemen invers di + yaitu elemen negatif
• elemen invers di x yaitu elemen invers

TUGAS
1. E adalah himp. bilangan genap
    - operasi + pada E adlah penjumlahan biasa
    - operasi x pada E adalah axb=(1/2)ab
   apakah (E, +, x) suatu ring komutatif dg elemen kesatuan?
2. Z(akar dua)={a+b akar dua| a,b Є Z}. apakah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan?


Sifat - Sifat Ring
I. Misalkan R suatu ring dan a,bЄR
    a. elemen nol di R tunggal
    b. setiap elemen di R memiliki elemen negatif yg tunggal
    c. jika a+b=a+c maka b=c (kanselasi kiri)
    d. jika b+a=c+a maka b=c (kanselasi kanan)
    e. setiap persamaan a+x=b dan x+a=b mempunyai solusi yang tunggal
    f. -(-a)=a dan -(a+b)=(-a)+(-b)
   g. jika m dan n bil bulat negatif maka (m+n)a=ma+na
       m(a+b)=ma+mb
       m(na)=(mn)a
II. Misalkan R suatu ring, 0 adalah elemen nol di R dan a,bЄR
   a. 0a=a0=0
   b. a(-b)=(-a)b=-(ab)
   c. (-a)(-b)=ab
   d. a(b-c)=ab-ac dan (a-b)c=ac-bc

define:
misalkan R suatu himpunan tidak kosong, dengan operasi biner + dan x (R, +, x) disebut Ring jhj
1. (R,+) grup abelian
    a. Sifat tertutup: Setiap a, b Є R, a*b Є R
    b. Sifat asosiatif: ambil sembarang a, b, c Є R. Adib (a+b)+c = a+(b+c)
    c. Identitas
    d. Invers
    e. Komutatif
2. (R, x) 
    a. Sifat tertutup
    b. Sifat asosiatif
3. Distributif (kali pada jumlah)

contoh:
- (Z, x, +) bukan ring
- (Z, +, x), (Q, +,x), (R,+,x),(C,+,x) itu Ring

Tugas : 
1. Buktikan (M(2,z), +, x) adalah ring?
2. Misalkan R&S masing-masing ring. RxS={(r,s)| r ЄR, sЄS}
  - penjumlahan (r1,s1)+(r2,s2)=(r1+r2 , s1+s2)
  - perkalian (r1,s1)(r2,s2)=(r1r2 , s1s2)
  apakah RxS suatu ring?