teori ring: SIFAT -SIFAT RING

Catatan tambahan!
- Suatu ring R disebut ring dengan elemen kesatuan jika ada e Є R sd shg setiap a Є R, ae=ea=a
- Suatu ring R disebut ring komutatif jika setiap a,b ЄR, ab=ba

contoh
- (2Z, +, x) ring komutatif tanpa elemen kesatuan
- (Z, +, x) ring komutatif dengan elemen kesatuan
- (M(2,z), +, x) tidak ring komutatif dengan elemen kesatuan yaitu matriks identitas.

•  elemen identitas di +  yaitu elemen nol
• elemen identitas di x yaitu elemen kesatuan
• elemen invers di + yaitu elemen negatif
• elemen invers di x yaitu elemen invers

TUGAS
1. E adalah himp. bilangan genap
    - operasi + pada E adlah penjumlahan biasa
    - operasi x pada E adalah axb=(1/2)ab
   apakah (E, +, x) suatu ring komutatif dg elemen kesatuan?
2. Z(akar dua)={a+b akar dua| a,b Є Z}. apakah suatu ring komutatif dengan elemen kesatuan?


Sifat - Sifat Ring
I. Misalkan R suatu ring dan a,bЄR
    a. elemen nol di R tunggal
    b. setiap elemen di R memiliki elemen negatif yg tunggal
    c. jika a+b=a+c maka b=c (kanselasi kiri)
    d. jika b+a=c+a maka b=c (kanselasi kanan)
    e. setiap persamaan a+x=b dan x+a=b mempunyai solusi yang tunggal
    f. -(-a)=a dan -(a+b)=(-a)+(-b)
   g. jika m dan n bil bulat negatif maka (m+n)a=ma+na
       m(a+b)=ma+mb
       m(na)=(mn)a
II. Misalkan R suatu ring, 0 adalah elemen nol di R dan a,bЄR
   a. 0a=a0=0
   b. a(-b)=(-a)b=-(ab)
   c. (-a)(-b)=ab
   d. a(b-c)=ab-ac dan (a-b)c=ac-bc