Teori Ring: Karakteristik Ring

Define
Misalkan R suatu ring, jika ada bil bulat positif terkecil n sds untuk setiap a Є R, na=0.
Maka n disebut karakteristik dari R.

jika tidak ada bil. bulat positif yg demikian, maka karakteristik R nya 0

contoh:
1. (Z, +, X), (Q, +, X), (R, +, X). Karakteristiknya adalah nol. (nol means elemen nol di ring)
2. (Z6, +6, X6) karakteristiknya 6.
untuk setiap a Є Z6 maka 6.a=nol

Jika ringnya memiliki elemen kesatuan e tidak nol, maka penentuan karakteristik ring tsb dapat ditent dg definisi:
ne=o 
sebab, setiap a ЄR. ae=ea=a shg n(ae)=(ne)a=0.a=0

Teorema
Jika D adalah suatu DI maka karakteristiknya nol atau bil.prima

bukti
untuk n=0 jelas.

andaikan n tidak nol,
karena D itu DI maka ada e Є DI
untuk n=1, 1.e=e.1 tidak nol ((artinya n>1)

andaikan n bukan bil.prima, n=r.s
0=n.e=rs.e=rese=0... re=0 dan se=0 ((kita tau D itu DI, jadi tidak memuat elemen pembagi nol. Maka tidak mungkin kalau n bukan bil prima))

Ini artinya r atau s merupakan karakteristik di DI namun hal ini kontradiksi padahal r dan s<n